구조역학: 변위일치법, 처짐각법, 모멘트 분배법에 대해 알아보기

이번 글에서는 구조해석의 중요한 방법인 변위일치법, 처짐각법, 모멘트 분배법에 대해 자세히 설명하겠습니다. 이 방법들은 구조물의 변위와 모멘트를 계산하여 구조물의 안정성과 성능을 평가하는 데 사용됩니다.

변위일치법 (Method of Displacement Compatibility)

변위일치법은 구조물의 변위 조건을 이용하여 구조 해석을 수행하는 방법입니다. 이 방법은 주로 구조물의 결합점에서의 변위가 일치하는 조건을 이용하여 불균형 상태를 해소하는 데 사용됩니다.

변위일치법의 원리

변위일치법은 다음과 같은 원리에 기반합니다:

• 구조물의 각 결합점에서의 변위가 일치해야 합니다.
• 변위와 관련된 모든 힘과 모멘트의 합이 0이어야 합니다.

변위일치법의 계산 과정

1. 구조물의 결합점에서의 변위를 가정합니다.
2. 가정한 변위에 따른 변형력과 모멘트를 계산합니다.
3. 각 결합점에서 변위가 일치하도록 변위를 조정합니다.
4. 변위를 조정한 후 변형력과 모멘트를 다시 계산하여 균형 상태를 확인합니다.

변위일치법의 예제

하나의 절점에서 고정된 두 개의 보가 만나는 구조를 고려해 보겠습니다. 보 A와 보 B의 길이는 각각 L1, L2이며, 끝단에서 하중 P가 작용합니다.

1. 절점에서의 변위를 δ로 가정합니다.
2. 보 A와 보 B의 변형력을 계산합니다:
   - 보 A: P1 = k1 * δ (여기서 k1은 보 A의 강성)
   - 보 B: P2 = k2 * δ (여기서 k2는 보 B의 강성)
3. 변위일치 조건을 적용합니다:
   - P1 + P2 = P
   - k1 * δ + k2 * δ = P
4. δ를 계산합니다:
   - δ = P / (k1 + k2)

따라서, 절점에서의 변위는 δ = P / (k1 + k2)입니다.

처짐각법 (Slope-Deflection Method)

처짐각법은 구조물의 각 절점에서의 처짐과 회전각을 이용하여 구조 해석을 수행하는 방법입니다. 이 방법은 주로 연속보와 프레임 구조물의 해석에 사용됩니다.

처짐각법의 원리

처짐각법은 다음과 같은 원리에 기반합니다:

• 각 절점에서의 처짐과 회전각을 구합니다.
• 각 보의 끝단에서의 모멘트를 계산합니다.
• 처짐과 회전각을 이용하여 모멘트를 조정합니다.

처짐각법의 계산 과정

1. 각 절점에서의 처짐과 회전각을 가정합니다.
2. 가정한 처짐과 회전각에 따른 모멘트를 계산합니다.
3. 각 절점에서 모멘트가 균형을 이루도록 처짐과 회전각을 조정합니다.
4. 조정된 처짐과 회전각을 이용하여 최종 모멘트를 계산합니다.

처짐각법의 예제

중간에 힌지가 있는 두 스팬의 연속보를 고려해 보겠습니다. 각 스팬의 길이는 L이며, 끝단에서 하중 P가 작용합니다.

1. 절점에서의 처짐 δ와 회전각 θ를 가정합니다.
2. 각 보의 끝단에서의 모멘트를 계산합니다:
   - 보 A: M1 = 2EI/L * (2θ1 + θ2 - 3δ/L)
   - 보 B: M2 = 2EI/L * (θ1 + 2θ2 - 3δ/L)
3. 처짐각 조건을 적용합니다:
   - M1 = M2
   - 2EI/L * (2θ1 + θ2 - 3δ/L) = 2EI/L * (θ1 + 2θ2 - 3δ/L)
4. θ와 δ를 계산합니다:
   - θ1 + θ2 = 3δ/L

따라서, 처짐과 회전각을 이용하여 각 끝단에서의 모멘트를 계산할 수 있습니다.

모멘트 분배법 (Moment Distribution Method)

모멘트 분배법은 구조물의 각 절점에서의 모멘트를 분배하여 균형 상태를 이루도록 하는 방법입니다. 이 방법은 주로 연속보와 프레임 구조물의 해석에 사용됩니다.

모멘트 분배법의 원리

모멘트 분배법은 다음과 같은 원리에 기반합니다:

• 각 절점에서의 초기 모멘트를 계산합니다.
• 모멘트를 각 절점에서 분배합니다.
• 분배된 모멘트를 이용하여 각 절점에서의 모멘트를 조정합니다.

모멘트 분배법의 계산 과정

1. 각 절점에서의 초기 모멘트를 계산합니다.
2. 각 절점에서 모멘트를 분배합니다.
3. 분배된 모멘트를 이용하여 각 절점에서의 모멘트를 조정합니다.
4. 모멘트가 균형을 이룰 때까지 반복합니다.

모멘트 분배법의 예제

세 개의 스팬을 가진 연속보를 고려해 보겠습니다. 각 스팬의 길이는 L이며, 각 절점에서 모멘트를 분배합니다.

1. 각 절점에서의 초기 모멘트를 계산합니다.
2. 각 절점에서 모멘트를 분배합니다:
   - 절점 A: M1 = θ1 * EI/L
   - 절점 B: M2 = θ2 * EI/L
   - 절점 C: M3 = θ3 * EI/L
3. 모멘트 분배 조건을 적용합니다:
   - M1 + M2 = M3
   - θ1 * EI/L + θ2 * EI/L = θ3 * EI/L
4. θ를 계산합니다:
   - θ1 + θ2 = θ3

따라서, 각 절점에서 모멘트를 분배하여 균형 상태를 이룰 수 있습니다.

결론

변위일치법, 처짐각법, 모멘트 분배법은 구조해석에서 중요한 역할을 하는 방법들입니다. 이 방법들을 이해하고 정확히 적용할 수 있으면, 구조물의 안정성과 성능을 평가하는 데 큰 도움이 됩니다. 이번 글을 통해 이러한 방법들의 개념과 계산 과정을 이해하고, 구조역학의 기초를 더욱 탄탄히 다질 수 있기를 바랍니다.